Le farniente estival, même sur sa fin, se prête bien à la résolution d’énigmes de tout genre. J’emprunte à Walter Thurnherr, chancelier de la Confédération, le problème suivant, publié dans l’édition du quotidien Le Temps du 17 décembre 2015:
«Toutes les gares de la ligne N vendent des billets à destination de toutes les autres gares. Si l’on ajoute quelques stations, il faudra imprimer 46 types de tickets additionnels. Quel est le nombre exact de ces «quelques» stations et combien y avait-il de gares auparavant?»
Un stratège au service du Conseil fédéral
Brillamment élu le 9 décembre 2015 au poste de chancelier de la Confédération, Walter Thurnherr est un expert de l’univers russe et un fan d’énigmes mathématiques. Il tient cette double compétence de sa formation universitaire –diplômé en physique théorique de l’Ecole polytechnique fédérale de Zurich– et de son parcours dans la diplomatie suisse, qui l’a notamment conduit en Russie, en Géorgie, en Ossétie et en Tchétchénie. Il est très au courant de la problématique de la mobilité, ayant assumé la fonction de secrétaire général du Département fédéral de l’environnement, des transports, de l’énergie et de la communication (DETEC) de 2011 à 2015, sous la houlette de la conseillère fédérale Doris Leuthard.
Walter Thurnherr, chancelier de la Confédération (photo Rolf Weiss, 2016).
La solution dans x jours
Si x est le nombre de gares dans la situation de départ, vous trouverez sur ce même site une solution détaillée de cette énigme dans x jours exactement. Bonne chance!
Daniel Mange, 1 septembre 2020
Solution
Bravo à ceux qui ont cherché et félicitations à ceux qui ont trouvé!
Walter Thurnherr a publié le 13 décembre 2015 sur son compte Twitter (@WThurnherr) une solution algébrique détaillée où x est le nombre de stations dans la situation de départ et y est le nombre des «quelques» stations additionnelles:
De façon plus synoptique, on peut dresser un tableau récapitulant diverses valeurs de x, le nombre de gares dans la situation de départ, et des valeurs de x (x-1), le nombre des billets à destination de toutes les autres gares:
x x (x-1)
8 8.7 = 56
9 9.8 = 72
10 10.9 = 90
11 11.10 = 110
12 12.11 = 132
13 13.12 = 156
14 14.13 = 182
La différence de x (x-1) pour x = 13 et pour x = 11 est égale à 46; nous avons donc trouvé le nombre de stations au départ, soit x = 11, le nombre de stations à l’arrivée, soit x = 13, et le nombre y des «quelques» stations additionnelles, soit y = 13-11 = 2.
Sous forme algébrique, le nombre de billets possibles au départ, avec x stations, est de x(x-1).
Si l’on rajoute y stations supplémentaires, x est remplacé par x+y et le nombre de billets devient (x+y)(x+y-1).
La différence entre ces deux expressions, soit le nombre de nouveaux billets, est égal à 46:
(x+y)(x+y-1) – x(x-1) = 46 ou
y(y+2x-1) = 46.
Pour que cette relation ait une solution en nombres entiers, y doit être un diviseur de 46, soit 1, 2, 23 ou 46.
Pour y=1, x=23; mais comme l’énoncé du problème parle de «quelques stations» au pluriel, nous éliminons cette variante.
Pour y=2, x= 11, nous retrouvons la solution tabulaire trouvée ci-dessus.
Pour y=23 et y=46, nous obtenons des valeurs négatives pour x; ces deux variantes sont donc éliminées.
Daniel Mange, 12 septembre 2020
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